دانلود ترجمه فارسی کتاب مکانیک کوانتومی ساکورایی

ویرایش جدید کتاب مکانیک کوانتومی پیشرفته ساکورایی

دانلود کتاب

‌‌‌‌‌‌() برخی از فعل و انفعالات دیگر را داشته باشند، در این صورت مقادیر ویژه انرژی آنها با حالت هایی مطابقت دارد ً «‌‌» ً ‌|⟩ |⟩ «‌‌» ‌‌:

|⟩ |⟩ |⟩ |⟩ = ً |⟩. () ‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌(). () () ‌؛

|⟩ |⟩ (|⟩) ‌؛

≡ – = = () ‌‌ً ‌‌() /-‌‌‌= |⟩ |= ⟩، = :

() “” |⟩

{|’⟩} ()، :

ً = () ً ؛

() () :

؛

|()|() = () ‌؛

|- | ̄ /|− | ≃ ̄ /|()|() ً () ؛

– ً |+⟩ ~ /= ̄/(+ –) () ̄/-؛

-() ‌‌‌‌() در یک نمایش با برخی از نمایش های دیگر مرتبط هستند. فرض بر این است که کت‌های حالت تغییر نمی‌کنند، زیرا ما به مجموعه دیگری از کت‌های پایه تغییر می‌کنیم، حتی اگر مقادیر عددی ضرایب بسط برای |α⟩، در نمایش‌های مختلف متفاوت باشد.
متعاقباً دو عملگر واحد را معرفی کردیم که در واقع کت‌های حالت را تغییر می‌دهند، طبق عملگر تبادل بخش 1.6 و عملگر زمان تکامل بخش 2.1. داریم:

که U ممکن است مخفف T (dx) یا U (t,t0) باشد. در اینجا U|α⟩ حالت ket مربوط به یک سیستم فیزیکی است که در واقع دستخوش تبادل و یا تکامل زمانی شده است.
مهم است که به خاطر داشته باشید که تحت یک تحول واحد که حالت‌ها را تغییر می‌دهد، محصول داخلی یک کاپ حالت و یک حالت کت بدون تغییر باقی می‌ماند؛

با استفاده از این واقعیت که این تبدیل‌ها بر روی کت‌های حالت تأثیر می‌گذارند اما بر عملگرها تأثیر نمی‌گذارند، ‌⟨||⟩ ‌ 

؟ :

:

(′) (‘) ‌‌:

؛

‌() ‌:

‌() ‌‌‌‌‌‌‌() ‌() () ؛

() ‌:

= :

= = :

⟨⟩ :

() [با تمایز (2.84)] [مراجعه کنید به (2.25)]؛

؛

().
() ‌() ‌؛

() () (()، -)؛

() () () () ‌؛

()، ‌()
: ‌‌‌: (+ )/() کموتاتور xi (یا pi) را با توابع xj و pj ارزیابی کنیم. برای این منظور فرمول های زیر کاربرد دارند:

که در آن F و G توابعی هستند که به ترتیب در توان دانلود کتاب مکانیک کوانتومی ساکورایی از pj و xj قابل گسترش هستند. ما می توانیم به راحتی هر دو فرمول را با اعمال مکرر (1.232e) اثبات کنیم.
ما اکنون در موقعیتی هستیم که معادله حرکت هایزنبرگ را برای یک ذره آزاد با جرم m اعمال کنیم. همیلتونی به همان شکلی است که در مکانیک کلاسیک وجود دارد

دانلود کتاب مکانیک کوانتومی ساکورایی به زبان فارسی

(4) در این کتاب از این ترتیب پیروی می کنیم: تصویر شرودینگر → تصویر هایزنبرگ → کلاسیک. برای برخورد روشنگرانه با موضوع مشابه به ترتیب مخالف، کلاسیک → تصویر هایزنبرگ → تصویر شرودینگر، به فینکلشتاین (1973)، صفحات 68-70 و 109 مراجعه کنید.

ما به مشاهده پذیرهای pi و xi نگاه می کنیم، که در تصویر هایزنبرگ به عنوان تکانه و عملگر موقعیت در نظر گرفته می شود (حتی اگر ما بالانویس (H) را حذف کنیم). چون پی با هر تابعی از pj جابجا می شود، داریم؛

بنابراین برای یک ذره آزاد، عملگر تکانه ثابت حرکت است، به این معنی که pi(t) در هر زمان با pi(0) یکسان است. به طور کلی، از معادله حرکت هایزنبرگ (2.93) مشهود است که هرگاه A(H) با دانلود کتاب مکانیک کوانتومی پیشرفته ساکورایی  جابجا شود، A(H) ثابت حرکت است. سپس:

که ما از (2.97a) استفاده کرده ایم، بنابراین راه حل ما این است؛

که یادآور معادله خط سیر کلاسیک برای یک حرکت مستطیل یکنواخت است. توجه به این نکته ضروری است که با وجود اینکه داریم:
در زمان های مساوی، جابجایی xi در زمان های مختلف ناپدید نمی شود. به طور مشخص داریم؛

با اعمال رابطه عدم قطعیت (1.146) برای این کموتاتور، به دست می آوریم؛

در میان موارد دیگر، این رابطه نشان می‌دهد که حتی اگر ذره در t = 0 به خوبی محلی‌سازی شود، موقعیت آن با گذشت زمان نامشخص‌تر می‌شود، نتیجه‌ای که می‌توان با مطالعه رفتار تکامل زمان بسته‌های موج ذره آزاد در مکانیک موج نیز به دست آورد.
اکنون یک V(x) بالقوه به همیلتونین ذره آزاد قبلی خود اضافه می کنیم:

در اینجا V(x) باید به عنوان تابعی از عملگرهای x-، y- و z درک شود. استفاده از (2.97b)
این بار داریم:

به عبارت دیگر، می‌بینیم که؛

همچنان پابرجاست، چرا که xi با عبارت جدید اضافه شده V(x) جا به‌جا می‌شود. می توانیم یک بار دیگر از معادله حرکت هایزنبرگ برای استنباط استفاده کنیم؛

که با ترکیب این با (2.32)، در نهایت به صورت برداری به دست می‌آوریم؛

این آنالوگ مکانیکی کوانتومی قانون دوم نیوتن است. با در نظر گرفتن مقادیر مورد‌‌‌انتظار هر دو طرف با توجه به حالت هایزنبرگ که تحت تاثیر زمان قرار نمی‌گیرد، داریم؛

این قضیه پس از پی ارنفست، که آن را در سال 1927 با استفاده از فرمالیسم مکانیک موج استخراج کرد، به عنوان قضیه ارنفست شناخته می شود. هنگامی که در این فرم انتظار نوشته می شود، اعتبار آن مستقل از این است که آیا ما از تصویر هایزنبرگ شرودینگر استفاده می‌کنیم. به هر حال، مقادیر انتظارات در دو تصویر یکسان است. در مقابل، شکل عملگر (2.109) تنها زمانی معنادار است که x و p را عملگرهای تصویر هایزنبرگ بدانیم.
توجه می کنیم که در (2.110) h ̄ کاملاً ناپدید شده اند. بنابراین جای تعجب نیست که مرکز یک بسته موج مانند یک ذره کلاسیک در معرض V(x) حرکت کند.
2.2.5 کیت های پایه و دامنه های انتقال
تا کنون از بیان این سوال که کت های پایه در زمان چگونه تکامل می یابند پرهیز کرده ایم. یک تصور غلط رایج این است که با گذشت زمان، همه کت ها در تصویر شرودینگر حرکت می کنند و در تصویر هایزنبرگ ثابت هستند. همانطور که به زودی روشن خواهیم کرد، این مورد صحیح نیست. نکته مهم، تشخیص رفتار کت های حالت از کت‌های پایه است.
ما بحث خود را در مورد فضاهای کت در بخش 1.2 با ذکر این نکته آغاز کردیم که ویژگی‌های مشاهده‌پذیر باید به عنوان کت‌های پایه استفاده شوند. چه اتفاقی برای معادله مقدار ایگن تحت تاثیر زمان می‌افتد؟

در تصویر شرودینگر، A تغییر نمی‌کند، بنابراین کت‌های پایه، به‌عنوان راه‌حل معادله مقدار ویژه در t = 0، برای مثال، باید بدون تغییر باقی بمانند. برخلاف حالت کت ها، کت های پایه در تصویر شرودینگر تغییر نمی کنند.
کل وضعیت در تصویر هایزنبرگ بسیار متفاوت است، جایی که معادله مقدار ویژه که باید مطالعه کنیم برای عملگر وابسته به زمان است.

از (2.111) که در t = 0 ارزیابی شد، زمانی که دو تصویر بر هم منطبق شدند، اینگونه استنباط می کنیم؛

که یک معادله مقدار ویژه را برای A(H) نشان می دهد:
اگر همچنان این دیدگاه را حفظ کنیم که مجموعه‌های ویژه مشاهده‌پذیرها، کِت‌های پایه را تشکیل می‌دهند، پس باید از {U †|a’⟩} به عنوان کت‌های پایه در تصویر هایزنبرگ استفاده شود. با گذشت زمان، کت های پایه تصویر هایزنبرگ که با |a’,t⟩H نشان داده می شوند، به صورت زیر پیشروی می کنند:

به دلیل ظهور U † به جای U در (2.115)، کت های پایه تصویر هایزنبرگ در مقایسه با کت های حالت تصویر شرودینگر، برعکس می چرخند. به طور خاص، |a’,t⟩H “معادله شرودینگر با علامت اشتباه” را نشان می‌دهد؛

در مورد خود مقادیر ویژه، از (2.114) می بینیم که با گذشت زمان بدون تغییر هستند. این با قضیه مشاهده پذیرهای معادل واحدی که در بخش 1.5 بحث شد، سازگار است. همچنین به بسط زیر برای A(H)(t) از نظر پایه کت ها و کاپ‌های تصویر هایزنبرگ توجه کنید:

که نشان می دهد همه چیز کاملاً سازگار است، مشروط بر اینکه کت های پایه هایزنبرگ مانند (2.115) تغییر کنند.
می بینیم که ضرایب انبساط یک کت حالت بر حسب کت های پایه در هر دو تصویر یکسان است

کتاب مکانیک کوانتومی

به صورت تصویری، ممکن است بگوییم که کسینوس زاویه بین حالت کت و کت پایه یکسان است، چه حالت کت را در خلاف جهت عقربه های ساعت بچرخانیم و چه کت پایه را در جهت عقربه های ساعت. این ملاحظات به همان اندازه برای کت های پایه که طیف پیوسته ای از خود نشان می دهند، اعمال می شود. به طور خاص، تابع موج ⟨x′|α⟩ را می توان به عنوان (1) حاصل ضرب داخلی موقعیت ثابت کاپ ایگن با حالت متحرک ket (تصویر شرودینگر) و یا (2) حاصلضرب داخلی موقعیت متحرک کاپ ایگن با حالت ثابت ket (تصویر هایزنبرگ) در‌نظر گرفت. ما در مورد وابستگی زمانی تابع موج در بخش 2.4 بحث خواهیم کرد، جایی که معادله معروف موج شرودینگر را استخراج خواهیم کرد.
برای نشان دادن بیشتر هم ارزی بین دو تصویر، دامنه های انتقال را مطالعه می کنیم که نقش اساسی در بخش 2.6 بازی می کند. فرض کنید یک سیستم فیزیکی در t = 0 آماده شده است تا در حالت ویژه A قابل مشاهده با مقدار ویژه a’ قرار گیرد. در زمان بعدی t ممکن است بپرسیم: دامنه احتمال، که به عنوان دامنه انتقال شناخته می شود، برای یافتن سیستم در حالت ویژه(ایگن) B قابل مشاهده با مقدار ویژه b′ چیست؟ در اینجا A و B می توانند یکسان یا متفاوت باشند. در تصویر شرودینگر وضعیت ket در t با U |a′⟩ داده می شود، در حالی که کت های پایه |a′⟩ و |b′⟩ با زمان تغییر نمی کنند. بنابراین ما داریم؛

برای این دامنه انتقال در تصویر هایزنبرگ حالت ket ثابت است، یعنی همیشه به صورت |a’⟩ باقی می‌ماند، اما بر‌خلاف آن کت‌های پایه تکامل می‌یابند. بنابراین دامنه انتقال به صورت زیر است؛
بدیهی است که (2.119) و (2.120) یکسان هستند. هر دو را می توان به صورت زیر نوشت؛

در حالت آزاد، این دامنه انتقال برای «رفتن» از حالت |a′⟩ به حالت |b′⟩ است. برای پایان دادن به این بخش، اجازه دهید تفاوت های بین شرودینگر را خلاصه کنیم؛
عکس و تصویر هایزنبرگ; جدول 2.1 را ببینید.

۲.۳ نوسان ساز هارمونیک ساده
نوسان ساز هارمونیک ساده یکی از مهمترین مسائل در مکانیک کوانتومی است. این نه تنها بسیاری از مفاهیم و روش های اساسی مکانیک کوانتومی را نشان می دهد، بلکه ارزش عملی زیادی نیز دارد. اساساً هر میزان پتانسیل را می توان با یک نوسان ساز هارمونیک ساده تقریب زد، بنابراین پدیده هایی از ارتعاشات مولکولی تا ساختار هسته ای را توصیف می کند. علاوه بر این، از آنجایی که هامیلتون اساساً مجموع مربعات دو متغیر مزدوج متعارف است، نقطه شروع مهمی برای بسیاری از نظریه‌های میدان کوانتومی نیز هست.
۲.۳.۱ کت‌ها و انرژی ویژه
ما بحث خود را با روش عملگر ظریف دیراک، که بر اساس کارهای بورن و ان. وینر است، آغاز می کنیم. برای به دست آوردن ویژه انرژی و مقادیر ویژه انرژی نوسانگر هارمونیک ساده. دانلود رایگان کتاب مبانی رفتار سازمانی استیفن رابینز ترجمه فارسی پایه به صورت زیر است؛

که در آن ω فرکانس زاویه ای نوسان ساز کلاسیک مربوط به ثابت فنر √k در قانون هوک ، مطابق با ω = k/m است. البته عملگرهای x و p هرمیتی هستند. تعریف دو اپراتور غیر هرمیتی به صورت زیر است؛

بنا به دلایلی که به زودی مشخص خواهد شد، به ترتیب به عنوان عملگر حذف و عملگر ایجاد، معرفی می شوند. با استفاده از روابط کموتاسیون متعارف، به راحتی به دست می آوریم؛

عملگر عدد را هم تعریف می کنیم؛

که آشکارا هرمیتی است و دیدن آن ساده است:

بنابراین ما یک رابطه مهم بین عملگر عدد و عملگر همیلتونی داریم:

از آنجا که H فقط یک تابع خطی از N است، N را می توان همزمان با H قطری کرد. ما یک ویژه انرژی N را با مقدار ویژه آن n نشان می دهیم، بنابراین؛

بعداً نشان خواهیم داد که n باید یک عدد صحیح غیر منفی باشد. به علت (2.127) داریم؛

به این معنی که مقادیر ویژه انرژی از راه زیر بدست می‌آید؛

برای درک اهمیت فیزیکی a، a† و N، اجازه دهید ابتدا توجه کنیم که؛

که ما از (2.124) استفاده کرده ایم. به همین ترتیب، ما داریم؛

در نتیجه ما داریم؛

این روابط نشان می دهد که a†|n⟩(a|n⟩) نیز یک ویژه از N است که مقدار ویژه یک افزایش (کاهش) دارد. از آنجایی که افزایش (کاهش) n به میزان یک برابر با ایجاد (حذف) یک واحد کوانتومی انرژی h ̄ ω است، عبارت عملگر ایجاد (عملگر نابودی) برای a† (a) مناسب تلقی می شود.
معادله (2.133b) نشان می دهد که a|n⟩ و |n-1⟩ تا یک ثابت ضربی یکسان هستند. پس می‌نویسیم؛

که در آن c یک ثابت عددی است که باید از این شرط تعیین شود که هر دو |n⟩ و |n-1⟩ نرمال شوند. ابتدا توجه داشته باشید که؛

می‌توانیم سمت چپ (2.135) را با توجه به اینکه a†a فقط عملگر عدد است، ارزیابی کنیم.؛

با در نظر گرفتن c به صورت قراردادی واقعی و مثبت، در نهایت به دست می آوریم؛

به همین ترتیب، داریم:

فرض کنید ما به اعمال عملگر حذف a در دو طرف (2.137) ادامه می دهیم:

تا زمانی که دنباله خاتمه یابد، می توانیم اپراتورهای ویژه عددی را با n کوچکتر و کوچکتر به دست آوریم، که هر زمان که با n عدد صحیح مثبت شروع کنیم این اتفاق می افتد. ممکن است کسی استدلال کند که اگر با یک عدد غیرصحیح n شروع کنیم، دنباله خاتمه نمی‌یابد و منجر به مجموعه‌های ویژه با مقدار منفی n می‌شود. اما لازمه مثبت بودن هنجار a|n⟩ نیز این گونه است:

که به این معنی است که n هرگز نمی تواند منفی باشد! بنابراین نتیجه می گیریم که دنباله باید با n=0 خاتمه یابد و مقادیر مجاز n اعداد صحیح غیرمنفی هستند.
از آنجایی که کوچکترین مقدار ممکن n صفر است، حالت پایه نوسانگر هارمونیک بدین صورت است؛

اکنون می توانیم متوالی عملگر ایجاد a† را در حالت پایه |0⟩ اعمال کنیم. با استفاده از (2.138) داریم:

به این ترتیب ما موفق به ساخت مجموعه های ویژه همزمان N و H با مقادیر ویژه انرژی شده ایم؛

از (2.137)، (2.138) و شرط متعامد بودن برای {|n⟩}، عناصر ماتریس را بدست می آوریم.

که با جمع‌بندی این‌ها ، داریم؛

ما عناصر ماتریس عملگرهای x و p را استخراج می کنیم:

توجه داشته باشید که نه x و نه p در N-نمایشی که استفاده می کنیم مورب نیستند. این تعجب آور نیست زیرا x و p مانند a و a† با N تبادل نمی کنند.
روش عملگر همچنین می تواند برای به دست آوردن توابع ویژه انرژی در فضای موقعیت استفاده شود. اجازه دهید با حالت پایه تعریف شده زیر شروع کنیم؛

که در بازنمایی x، داریم؛

با توجه به (1.249)، می‌توانیم این را به عنوان یک معادله دیفرانسیل برای تابع موج حالت پایه ⟨x’|0⟩ در نظر بگیریم:

در اینجا ما فرمول جدیدی را معرفی می‌کنیم؛

که مقیاس طول نوسانگر را تعیین می کند. می بینیم که راه حل نرمالیزه شده برای (2.149) به این صورت است؛

همچنین می‌توانیم توابع ویژه انرژی را برای حالت‌های برانگیخته بدست آوریم؛

دانلود رایگان کتاب مکانیک کوانتوم ساکورایی

بصورت عمومی‌تر داریم؛

بررسی مقادیر مورد‌انتظار x2 و p2 برای حالت پایه سودمند است. ابتدا توجه داشته باشید که؛

هنگامی که مقدار مورد‌انتظار x2 را در نظر می گیریم، فقط آخرین جمله در (2.154) یک سهم ناپدیدکننده به دست می دهد:

بدین ترتیب، داریم؛

در نتیجه مقادیر مورد انتظار انرژی جنبشی و انرژی بالقوه به ترتیب عبارتند از؛

همانطور که از قضیه ویریال انتظار می رود. از (2.146a) و (2.146b)، نتیجه می شود که؛

که برای حالت های برانگیخته نیز صدق می کند. بنابراین ما داریم؛

و می بینیم که رابطه عدم قطعیت در فرمول مینیموم محصول عدم قطعیت برآورده می شود:

این خیلی عجیب نیست زیرا تابع موج وضعیت زمین یک شکل گاوسی دارد. در مقابل، محصولات عدم قطعیت برای حالت های بر‌انگیخته بزرگتر هستند:

اثبات آن ساده بنظر می‌رسد.
۲.۳.۲ زمان پیشروی نوسانگر
تا کنون در مورد تکامل زمانی کت های حالت نوسانگر و همچنین قابل مشاهده هایی مانند x و p بحث نکرده ایم. قرار است هر کاری که انجام داده‌ایم در یک لحظه ثابت بماند، مثلاً t = 0. عملگرهای x، p، a و a† یا به عنوان عملگرهای تصویر شرودینگر (در تمام t) یا به عنوان عملگرهای تصویر هایزنبرگ در t = 0 در نظر گرفته می شوند. در قسمت باقی مانده از این بخش، ما منحصراً در تصویر هایزنبرگ کار می کنیم. ، به این معنی که x، p، a و a† همه به زمان وابسته هستند (حتی اگر ما به صراحت x(H)(t) و غیره را ننویسیم).
معادلات حرکت هایزنبرگ برای p و x از (2.106) و (2.107) گرفته شدند.

این جفت معادله دیفرانسیل جفت شده معادل دو دیفرانسیل غیر جفت شده در
معادلات a و a† است، یعنی؛

که راه حل آنها بدین صورت است؛

این روابط به صراحت نشان می دهد که N و H عملگرهای مستقل از زمان هستند (حتی در تصویر هایزنبرگ). می‌توانیم (2.164) را بر حسب x و p بازنویسی کنیم؛

با تساوی هرمسی و ضد هرمیتی هر دو طرف به طور جداگانه استنباط می کنیم که؛
این معادلات شبیه معادلات حرکت کلاسیک هستند. می بینیم که عملگرهای x و p درست مانند آنالوگ های کلاسیک خود “نوسان می کنند”.
به دلایل آموزشی ، اکنون یک مشتق جایگزین از (2.166a) ارائه می کنیم. به جای حل معادله هایزنبرگ حرکت، سعی می کنیم ارزیابی کنیم؛

برای این منظور ما یک فرمول بسیار مفید را بیان می کنیم:

که در آن G یک عملگر هرمیتی و λ یک پارامتر واقعی است. ما اثبات این فرمول را که به لم بیکر-دانلود کتاب مکانیک کوانتومی پیشرفته ساکورایی معروف است، به عنوان تمرین باقی می گذاریم. با اعمال این فرمول برای (2.167)، داریم:

هر عبارت سمت راست را می توان با استفاده مکرر به x یا p تبدیل کرد؛

بنابراین؛

که مطابق با (2.166a) است.
با توجه به (2.166a) و (2.166b)، ممکن است تصور شود که ⟨x⟩ و ⟨p⟩ همیشه با فرکانس زاویه ای ω در نوسان هستند. با این حال، این استنباط صحیح نیست. هر حالت ویژه انرژی که با مقدار معین n مشخص می شود را در نظر بگیرید. مقدار انتظار ⟨n|x(t)|n⟩ ناپدید می شود زیرا عملگرهای x(0) و p(0) n را با 1± تغییر می دهند و |n⟩ و |n ± 1⟩ متعامد هستند. این نکته از نتیجه گیری قبلی ما نیز آشکار است (به بخش 2.1 مراجعه کنید) که مقدار انتظاری یک مشاهده پذیر گرفته شده با توجه به حالت ساکن با زمان تغییر نمی کند. برای مشاهده نوساناتی که یادآور نوسان ساز کلاسیک هستند، باید به برهم نهی حالت های ویژه انرژی مانند زیر باشد:

مقدار مورد انتظار x(t) که در رابطه با (2.172) گرفته شده است، نوسان می کند که خواننده نیز به راحتی این را متوجه شود.
ما دیده‌ایم که یک حالت ویژه انرژی مانند نوسان‌گر کلاسیک رفتار نمی‌کند – به معنای نوسانی مقادیر انتظار برای x و p – مهم نیست که n چقدر بزرگ باشد. ممکن است بپرسیم: چگونه می‌توانیم یک برهم‌نهی از حالت‌های ویژه انرژی بسازیم که بیشترین تقلید را از نوسانگر کلاسیک داشته باشد؟ در زبان تابع موج، ما یک بسته موج می خواهیم که بدون پخش شدن در شکل به جلو و عقب بازگردد. به نظر می رسد که یک حالت منسجم که توسط معادله مقدار ویژه برای عملگر نابودی غیر هرمیتی a تعریف شده است، به این صورت باشد؛

به طور کلی با یک مقدار ویژه پیچیده λ کار مورد نظر را انجام می دهد. حالت منسجم دارای بسیاری از ویژگی های قابل توجه دیگر است؛
1. هنگامی که به صورت برهم نهی از حالت های ویژه انرژی (یا N) بیان می شود

توزیع |f(n)|2 با توجه به n از نوع پواسون و در حدود مقدار n ̄ است:

2. می توان آن را با تبادل حالت پایه اسیلاتور با مقداری فاصله محدود به دست آورد.
3. حداقل رابطه محصول عدم قطعیت را برآورده می کند؛
2.4 معادله موج شرودینگر
2.4.1 معادله موج وابسته به زمان
اکنون به تصویر شرودینگر می پردازیم و تکامل زمانی آلفا ، t، t0 را بررسی می کنیم. ت) در نمایش x. وظیفه ما بررسی رفتار تابع موج است؛

به عنوان تابعی از زمان، جایی که |α,t0; t⟩ یک حالت ket در تصویر شرودینگر در زمان t و ⟨x′| است یک موقعیت ویژه مستقل از زمان با مقدار ویژه x′ داریم. اپراتور همیلتونی به این صورت در نظر گرفته شده است؛

پتانسیل بالقوه V(x) یک عملگر هرمیتی است. همچنین محلی است به این معنا که در بازنمایی x ما داریم؛

که در آن V(x’) یک تابع واقعی از x است. بعداً در این کتاب، هامیلتونی‌های پیچیده‌تر را در نظر خواهیم گرفت: یک پتانسیل وابسته به زمان V(x,t). یک پتانسیل غیرمحلی اما قابل تفکیک که در آن سمت راست (2.178) با v1(x′′)v2(x′) جایگزین می شود. یک برهمکنش وابسته به تکانه به شکل p · A + A · p، که در آن A پتانسیل برداری در الکترودینامیک است و غیره.
اکنون معادله موج وابسته به زمان شرودینگر را استخراج می کنیم. ما ابتدا معادله شرودینگر را برای حالت کت (2.27) در نمای x می نویسیم:

که ما از این واقعیت استفاده کرده ایم که موقعیت کاپ‌های خاص در تصویر شرودینگر با گذشت زمان تغییر نمی کند. با استفاده از (1.252)، می توانیم سهم انرژی جنبشی در سمت راست (2.179) را به صورت زیر بنویسیم.

در مورد V(x)، ما به سادگی از مورد زیر استفاده کردیم؛

5) برای کاربرد در فیزیک لیزر، به Sargent و همکاران مراجعه کنید. (1974) و لودون (2000). همچنین به بحث در مورد نور فشرده در انتهای بخش 7.8 این کتاب مراجعه کنید.
که در آن V(x’) دیگر یک عملگر نیست. با ترکیب همه چیز با هم، استنباط می کنیم که:

که ما آن را معادله موج وابسته به زمان مشهور ای. شرودینگر می‌دانیم که معمولاً به صورت زیرنوشته می‌شود؛

مکانیک کوانتومی بر اساس معادله موجی (2.183) به مکانیک موجی معروف است. این معادله در واقع نقطه شروع بسیاری از کتاب های درسی مکانیک کوانتومی است. با این حال، در فرمالیسم ما، این فقط معادله شرودینگر برای یک حالت کت است که به صراحت در پایه x و در زمانی است که عملگر همیلتونی (2.177) در نظر گرفته شود.
2.4.2 معادله موج مستقل از زمان
اکنون معادله دیفرانسیل جزئی برآورده شده توسط توابع ویژه انرژی را استخراج می کنیم. در بخش 2.1 نشان دادیم که وابستگی زمانی یک حالت ساکن با exp(-iEa’ t/h ̄ ) داده می شود. این ما را قادر می سازد تابع موج آن را به صورت زیر بنویسیم؛

که در آن قابل درک است که در ابتدا سیستم در یک حالت ویژه همزمان A و H با مقادیر ویژه a’ و Ea’ آماده شده است. اکنون اجازه دهید (2.184) را با معادله شرودینگر وابسته به زمان (2.182) جایگزین کنیم. سپس داریم:
این معادله دیفرانسیل جزئی توسط تابع ویژه انرژی ⟨x′|a′⟩ با مقدار ویژه انرژی Ea′ درست در‌می‌آید. در واقع، در مکانیک موجی که عملگر همیلتونی به عنوان تابعی از x و p داده می‌شود، مانند (2.177)، نیازی به ارجاع صریح به A قابل مشاهده که با H تغییر می‌کند، نیست زیرا همیشه می‌توانیم A را به عنوان تابعی از قابل مشاهده x و p که با خود H منطبق است، انتخاب کنیم. بنابراین ممکن است ارجاع به a’ را حذف کنیم و به سادگی (2.185) را به عنوان معادله دیفرانسیل جزئی بنویسیم که باید توسط تابع ویژه انرژی uE (x’) برآورده شود:

این معادله موج مستقل از زمان ای.شرودینگر است که در اولین مقاله از چهار مقاله تاریخی که همگی در نیمه اول سال 1926 نوشته شده اند، اعلام شد و پایه های مکانیک موج را بنا نهاد. در همان مقاله، شرودینگر بلافاصله (2.186) را برای استخراج طیف انرژی اتم هیدروژن اعمال کرد.
برای حل (2.186) یک شرط مرزی باید اعمال شود. فرض کنید ما به دنبال راه حلی برای (2.186) هستیم، ما داریم؛

که در آن رابطه نابرابری برای |x’| در هر جهت برقرار است → ∞ . شرط مرزی مناسبی که در این مورد استفاده می شود، به این صورت ؛

() () ‌() () ‌‌‌ً ً – – تابستان 1925 متولد شد، بلافاصله به ذهن فیزیکدانان نظری یا ریاضیدانان خطور نکرد که آن را با استفاده از زبان معادلات دیفرانسیل جزئی فرموله کنند. شش ماه پس از مقاله پیشگام هایزنبرگ، مکانیک موج توسط شرودینگر پیشنهاد شد. با این حال، بررسی دقیق مقالات او نشان می دهد که او اصلاً تحت تأثیر آثار قبلی هایزنبرگ، بورن و جردن قرار نگرفته است. در عوض، استدلالی که شرودینگر را به فرمول‌بندی مکانیک موجی سوق داد، ریشه در قیاس W. R. Hamilton بین اپتیک و مکانیک دارد که بعداً در مورد آن و فرضیه موج-ذره L. de Broglie توضیح خواهیم داد. هنگامی که مکانیک موج فرموله شد، بسیاری از افراد، از جمله خود شرودینگر، هم ارزی مکانیک موج و مکانیک ماتریس را نشان دادند.
فرض بر این است که خواننده این کتاب تجربه حل معادلات موج وابسته به زمان و مستقل از زمان را داشته باشد. او باید با تکامل زمانی یک بسته موج گاوسی در یک منطقه بدون نیرو نیز آشنا باشد. باید بتواند مسائل بازتابی یک بعدی را که شامل یک مانع پتانسیل مستطیلی شکل و مانند آن است، حل کند. باید راه‌حل‌های ساده معادله موج مستقل از زمان – یک ذره در یک جعبه، یک ذره ‌- ‌‌() () ‌() -(‘) ‌‌‌||⟨’|; ⟩ |⟩ {|′⟩} (‘,) ‌؛

‘ ‘ (‘,)’ ‘ :///-////() ||()، ‌؛

() ‌‌‌‌‌() :

⟨⟩‌() ||||||؛

> ً ؟ ‌:

[نگاه کنید به (2.191)]؛

||() () ؛

؛

∇/””  

و معادله پیوستگی (2.190) به صورت زیر است؛

۲.۴.۴ حد کلاسیک
اکنون در مورد حد کلاسیک مکانیک موج بحث می کنیم. ابتدا، ψ نوشته شده به شکل (2.193) را در هر دو طرف معادله موج وابسته به زمان جایگزین می کنیم. تمایزات مستقیم منجر می‌شود به:

تا اینجا همه چیز دقیق بوده است. اکنون فرض کنیم h ̄ را می توان به نوعی کمیت کوچک در نظر گرفت. معنای فیزیکی دقیق این تقریب، که بعداً به آن خواهیم پرداخت، اکنون آشکار نیست، اما اجازه دهید فرض کنیم:
سپس می‌توانیم عباراتی را در (2.200) جمع‌ً ̄ :

‌() ← : ̄ ̄ (−/̄) :
() (()، -). ً «»، ‌-‌:

دانلود کتاب مکانیک کوانتومی ساکورایی - ترجمه جدید

ویرایش جدید کتاب مکانیک کوانتومی پیشرفته ساکورایی

URL: https://jozvani.ir/download/pdf/book/8c/

نویسنده: saman

امتیازدهی ویرایشگر:
5